Relasi
Pengertian
Relasi
Relasi adalah suatu
aturan yang memasangkan anggota suatu
himpunan
ke himpunan lain. Suatu relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah pemasangan
atau perkawanan atau korespondensi dari anggota-anggota himpunan A ke
anggota-anggota himpunan B.
Jika diketahui himpunan
A = {Eko, Rina, Tono, Dika}; B = {Merah, Hitam, Biru}, maka relasi "suka
dengan warna" himpunan A ke himpunan B dapat disajikan dalam diagram
panah, diagram Cartesius, himpunan pasangan berurutan, dan dengan rumus.
a. Diagram panah
b. Diagram Cartesius
c. Himpunan pasangan berurutan
R = {(Eko, Merah), (Rina, Hitam), (Tono,
Merah), (Dika, Biru)}
Suatu relasi (biner) F
dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu perkawanan elemen-elemen di A dengan
elemen-elemen di B.
Dengan menggunakan
penyajian relasi di atas, maka relasi R dari himpunan A ke himpunan B dapat
kita definisikan sebagai himpunan pasangan (a,b) pada A × B, di mana a ∈ A dan - b ∈ B salah satu dari
kalimat berikut:
Relasi atau hubungan
itu dapat terjadi di berbagai bidang misalnya ekonomi, IPA, keteknikan dan lain sebagainya, seperti hubungan
antara jumlah suatu barang dengan harganya, dalam hubungan antara
harga dengan permintaan atau
penawaran, dalam hubungan antara kekuatan suatu zat radioaktif dengan
waktu.
Fungsi
Pengertian
Fungsi Matematika
Relasi fungsional atau
sering disingkat fungsi sering juga disebut dengan istilah pemetaan (mapping)
didefinisikan sebagai berikut :
Definisi: Suatu fungsi f dari
himpunan A ke himpunan B adalah suatu relasi yang memasangkan setiap elemen
dari A secara tunggal, dengan elemen pada B.
Ditulis f : A → B dibaca “fungsi f
pemetaan A ke dalam / into B”.
Apabila f memetakan suatu elemen x ∈ A ke suatu y ∈ B dikatakan bahwa y
adalah peta dari x oleh f dan peta ini dinyatakan dengan notasi f(x), dan biasa
ditulis dengan f:x → f(x), sedangkan x biasa disebut prapeta dari f(x).
Himpunan A dinamakan daerah asal
(domain) dari fungsi f , sedangkan himpunan B disebut daerah kawan (kodomain)
sedangkan himpunan dari semua peta di B dinamakan daerah hasil (range) dari
fungsi f tersebut.
Suatu relasi dari himpunan A ke himpunan
B disebut fungsi dari A ke B jika setiap anggota A dipasangkan dengan tepat ke satu anggota B. Jika f adalah suatu fungsi dari A ke B,
maka:
- himpunan A disebut domain (daerah asal).
- himpunan B disebut kodomain (daerah kawan) dan himpunan B yang pasangan (himpunan C) disebut range (hasil) fungsi f.
Aturan yang memasangkan anggota-anggota
hhimpunan A dengan anggota-anggota himpunan B disebut aturan fungsi f.
Misal diketahui fungsi-fungsi:
f: A → B ditentukan dengan notasi
f(x).
g: C → D ditentukan dengan notasi
g(x).
Untuk lebih memahami tentang fungsi, pelajarilah
contoh soal berikut.
Contoh 1:
Diketahui A + {1, 2, 3, 4} dan B =
{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}. Suatu fungsi f: A → B ditentukan oleh f(x) +
2x-1.
a. Gambarlah fungsi f dengan diagram
panah.
b. Tentukan range fungsi f.
c. Gambarlah grafik fungsi f.
Penyelesaian
 |
|
Diagram
panah fungsi f
|
a.
b. Dari diagram diatas, terlihat bahwa:
f(x) = 2x-2
f(1) = 2.2-1 = 1
f(2) = 2.2-1 =3
f(3) = 2.3-1 = 5
f(4) = 2.4-1 = 7
Contoh 2
Diagram di atas bukan merupakan fungsi karena ada elemen A yang dipasangkan tidak
secara tunggal dengan elemen pada B.
Contoh 3 :
Diketahui A = {x | -3 ≤ x < 3, x ∈ R} dan suatu fungsi f:
A → R
Ditentukan oleh rumus f(x) = x2 + 1
a. Carilah f(-1), f(0) dan prapeta dari
5
b. Dengan melukis grafik, tentukan
daerah hasil dari fungsi f.
c. Jelaskan bahwa f adalah suatu fungsi.
Jawab:
Dibuat
grafik y= x2 + 1
f(-3) = (-3)2 + 1 =10
f(3) = (3)2 + 1 = 10
titik balik (0,1)
Jadi daerah hasil dari fungsi f adalah:
R = { y | 1 < y < 10, y ∈
R }, karena nilai f(x) = y terletak pada interval tersebut sebagaimana terlihat
pada sumbu y.
c. Karena f suatu relasi dimana setiap
elemen pada domain A (sumbu x) dipasangkan secara tunggal maka f merupakan
fungsi.
Sifat
Fungsi
Dengan memperhatikan
bagaimana elemen-elemen pada masing-masing
himpunan A dan B yang direlasikan dalam
suatu fungsi, maka kita mengenal tiga sifat fungsi yakni sebagai berikut :
1. Injektif (Satu-satu)
Misalkan fungsi f
menyatakan A ke B maka fungsi f disebut suatu fungsi satu-satu (injektif),
apabila setiap dua elemen yang berlainan di A akan dipetakan pada dua elemen yang
berbeda di B. Selanjutnya secara singkat dapat dikatakan bahwa f:A→B adalah fungsi
injektif apabila a ≠ a’ berakibat f(a) ≠ f(a’) atau ekuivalen, jika
f(a) = f(a’) maka akibatnya a = a’.
Contoh:
1. Fungsi f pada R yang didefinisikan
dengan f(x) = x2 bukan suatu fungsi satu-satu sebab f(-2) = f(2).
2.
2.
Adapun fungsi pada A = {bilangan
asli} yang didefinisikan dengan f(x) = 2x adalah fungsi satu-satu,
sebab kelipatan dua dari setiap dua bilangan yang berlainan adalah
berlainan pula.
2. Surjektif (Onto)
Misalkan f adalah suatu
fungsi yang memetakan A ke B maka daerah hasil f(A) dari fungsi f adalah
himpunan bagian dari B, atau f(A) c B. Apabila f(A) = B, yang berarti setiap
elemen di B pasti merupakan peta dari sekurang-kurangnya satu elemen di A maka
kita katakan f adalah suatu fungsi surjektif atau “f memetakan A Onto B” .
Contoh:
1. Fungsi f: R→R yang didefinisikan
dengan rumus f(x) = x2 bukan fungsi yang onto karena
himpunan bilangan negatif tidak dimuat oleh hasil fungsi tersebut
2. Gb. 2.11
Misal A = {a, b, c, d} dan B = {x, y, z}
dan fungsi f: A → B yang didefinisikan dengan diagram panah adalah suatu fungsi
yang surjektif karena daerah hasil f adalah sama dengan kodomain dari f
(himpunan B).
3.Bijektif (Korespondensi Satu-satu)
Suatu pemetaan f: A→B
sedemikian rupa sehingga f merupakan fungsi yang injektif dan
surjektif sekaligus, maka dikatakan “f adalah fungsi yang bijektif” atau “ A dan
B berada dalam korespondensi satu-satu”.
Contoh:
1)
1)
Relasi dari himpunan A = {a, b, c} ke
himpunan B = {p,q, r} yang didefinisikan sebagai diagram di atas adalah suatu fungsi yang bijektif.
2) Fungsi f yang memasangkan setiap negara di dunia dengan ibu kota negaranegara di dunia adalah fungsi korespondensi satu-satu (fungsi bijektif), karena tidak ada satu kotapun yang menjadi ibu kota dua negara yang berlainan.
Jenis
– jenis Fungsi
Jika suatu fungsi f
mempunyai daerah asal dan daerah kawan yang sama, misalnya D, maka sering
dikatakan fungsi f pada D. Jika daerah asal dari fungsi tidak dinyatakan maka yang
dimaksud adalah himpunan semua bilangan real (R). Untuk fungsi-fungsi
pada R kita kenal beberapa fungsi antara lain sebagai berikut.
a. Fungsi Konstan
b. Fungsi Identitas
c. Fungsi Linear
Fungsi pada bilangan real yang
didefinisikan : f(x) = ax + b, a dan b konstan dengan a
d. Fungsi Kuadrat
Fungsi f: R→R yang ditentukan oleh rumus
f(x) = ax2 + bx + c dengan a,b,c ∈
R
dan a ≠ 0 disebut fungsi kuadrat.
e. Fungsi Rasional
Fungsi rasional adalah suatu fungsi
terbentuk f(x) =Q(x) P(x) dengan P(x) dan Q(x) adalah suku banyak dalam x
dan Q(x) ≠ 0.
Fungsi R→R yang didefinisikan sebagai: f
: x→ x disebut fungsi identitas.
Referensi:
Latihan 1 :
1. Diantara fungsi-fungsi berikut,
manakah yang merupakan fungsi injektif, surjektif, serta bijektif? Berilah
penjelasannya!
2. Diketahui himpunan D = {1,2,3,4,5}.
Suatu relasi pada D ini, manakah yang berupa
pemetaan dan
berikan alasannya !
a.R =
{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5)}
b.R =
{(1,2),(2,3),(2,4),(4,5),(5,1)}
c.R =
{(1,2),(2,2),(3,2),(4,2),(5,2)}
3.Suatu fungsi f: R→R ditentukan oleh
f(x) = x2 + 2
a.Tentukan f(-1), f(a), dan
f(1).
b.Tentukan a jika f(a) = 27
c.Anggota manakah dari
daerah asal yang mempunyai peta 18 ?
4.Manakah yang merupakan fungsi
injektif, surjektif, atau bijektif dari fungsi dengan
domain {1, 2, 3, 4}, yang
didefinisikan sebagai berikut?
a. R = {(1, 1), (2, 3), (3,
5), (4, 7); jika kodomainnya {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
b. R = {(1, 1), (2, 2), (3,
3), (4, 1); jika kodomainnya {1, 2, 3}
c. R = {(1, 4), (2, 3), (3,
2), (4, 1); jika kodomainnya {1, 2, 3, 4}
d. R = {(1, 1), (2, 2), (3, 2),
(4, 4); jika kodomainnya {1, 2, 3, 4, 5, 6}
5. Misalkan A = [–1, 1] = {x|–1≤ x ≤ 1, ∈ R}. Apakah fungsi di
bawah ini surjektif?
a. f: A → A ; didefinisikan
f(x) = x c. f: A → A ; didefinisikan f(x) = x2
b. f: A → A ; didefinisikan
f(x) = 2x – 1 d. f: A → A ; didefinisikan f(x) = x3
