prinsip dualitas

Prinsip Dualitas

·         Dua konsep yang berbeda dapat di pertukarkan namun tetap memberikan jawaban yang benar.

·         Jika kita menukar ∪ dengan ∩ dan S dengan ø dalam setiap pernyataan tentang himpunan, maka pernyataan baru tersebut disebut  dual dari pernyataan aslinya.

·         Misalkan s adalah pernyataan (umum) yang berkaitan dengan kesamaan dari dua ekspresi himpunan. Masing-masing ekspresi mungkin memuat satu atau lebih pemunculan himpunan (seperti  A, Ā, B, B̅, dst), satu atau lebih pemunculan ø dan U, dan hanya operasi himpunan ∪ dan ∩. Dual dari s, dilambangkan s^d adalah himpunan yang diperoleh dari s dengan  mengganti:

(1) ø dengan U dan U dengan ø di dalam s

(2) ∩ dengan ∪ dan ∪ dengan ∩ di dalam s.

 Misal:

(a)     s : A ∩ (A∪B) = A

                               s^d : A ∪ (A ∩ B) =A

(b)    s  :  A ∪Β  = Ā̅ ∩B̅

                                          s^d  : A ∩Β = Ā̅ ∪ B̅

Contoh :

AS → kemudi mobil di kiri depan

Indonesia → kemudi mobil di kanan depan

Peraturan:

(a) di Amerika Serikat,

• mobil harus berjalan di bagian kanan jalan,

• pada jalan yang berlajur banyak, lajur kiri untuk mendahului,

• bila lampu merah menyala, mobil belok kanan boleh langsung

(b) di Indonesia,

• mobil harus berjalan di bagian kiri jalan,

• pada jalur yang berlajur banyak, lajur kanan untuk mendahului,

• bila lampu merah menyala, mobil belok kiri boleh langsung

Prinsip dualitas pada kasus diatas adalah:

Konsep kiri dan kanan dapat dipertukarkan pada kedua negara tersebut sehingga peraturan yang berlaku di Amerika Serikat menjadi berlaku pula di Indonesia.

Prinsip Dualitas pada Himpunan.

Misalkan S adalah suatu kesamaan (identity) yang melibatkan himpunan dan operasi-operasi seperti ∪, ∩, dan komplemen. Jika S* merupakan kesamaan yang berupa dual dari S maka dengan mengganti ∪ → ∩, ∩ → ∪, ∅ → U, U → ∅, sedangkan komplemen dibiarkan seperti semula, maka operasi-operasi tersebut pada kesamaan S* juga benar.

Tabel  Dualitas dari Hukum Aljabar Himpunan

1	Hukum identitas:A ∪ ∅ = A	Dualnya:A ∩ U = A
2	Hukum null/dominasi:A ∩ ∅ = ∅	Dualnya:A ∪ U = U
3	Hukum komplemen :A ∪ A = U	Dualnya:A ∩ A= ∅
4	Hukum idempoten :A ∪ A = A	Dualnya:A ∩ A = A
5	Hukum penyerapan :A ∪ (A ∩ B) = A	Dualnya:A ∩ (A ∪ B) = A
6	Hukum komutatif :A ∪ B = B ∪ A	Dualnya:A ∩ B = B ∩ A
7	Hukum asosiatif :A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C	Dualnya:A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C
8	Hukum distributif :A ∪ (B ∩ C)=(A ∪ B) ∩ (A ∪ C)	Dualnya:A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
9	Hukum De Morgan:BA∪ = A ∩ B	Dualnya:BA∩ = A ∪ B
10	Hukum 0/1∅= U	Dualnya:U = ∅

  

Referensi:

http://jejakjari007.blogspot.com/2010/01/materi-matematika-diskrit.html

matematikadiskri.blogspot.com/2012/11/teori-himpunan.html

https://ainunannisablog.wordpress.com/2013/09/28/6/